极限

常用极限

$\lim_{x \to +\infty}\ln x=\infty$

重要极限

第一重要极限：$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

第二重要极限：$\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$ 或 $\lim_{x \to 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$

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极限的四则运算

前提：$\lim f(x)$，$\lim g(x)$ 都存在。

$\lim (f(x) \pm g(x)) = \lim f(x) \pm \lim g(x)$

$\lim (f(x) \times g(x)) = \lim f(x) \times \lim g(x)$

$\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$，前提：这三个 $\lim$ 都存在且 $\lim g(x)$ 不为零

$\lim (\text{常数}\times f(x))=\text{常数}\lim f(x)$

$\lim((A^B)^C)=(\lim(A^B))^{\lim C}$

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夹逼定理

对数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$， 若 $a_n \leq b_n \leq c_n$， 且 $\lim a_n = \lim c_n = L$， 则 $\lim b_n = L$。

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等价无穷小

意义：某些函数在 $x \to 0$ 的时候可以替换成另一个函数。

注意：当想要替换的项与其它项存在直接相加的关系时 不可替换。

如：$\lim_{x \to 0} \dfrac{x-\sin x}{\sin x}$

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一个函数，在有理数取值为1或0，在无理数取值为0或1， 那么这个函数的极限不存在。

狄利克雷函数：$D(x)=\left\{\begin{aligned} &1,\qquad &&x\in \mathbb Q,\\ &0,\qquad &&x\in \mathbb R \backslash \mathbb Q, \end{aligned}\right.$

$(1-D)(x)=\left\{\begin{aligned} &0,\qquad &&x\in \mathbb Q,\\ &1,\qquad &&x\in \mathbb R \backslash \mathbb Q, \end{aligned}\right.$

$\lim_{x \to a}D(x)$ 与 $\lim_{x \to a}(1-D)(x)$ 不存在。

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函数连续

若函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处有定义，且 $\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$（该点的极限值 $=$ 函数值），则称 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续。

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洛必达法则

$\lim_{x \to 0} \dfrac{A}{B}$ 时， 若 $A=B=0$，或 $A=B=\infty$， 则 $\lim_{x \to 0} \dfrac{A}{B} = \lim_{x \to 0} \dfrac{A'}{B'}$ 。

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无穷小量

给定两个函数 $A,\,B$ ，确保他们在 $x\to 0$ 处是趋于 $0$ 的 （也就是说他们在 $x\to 0$ 处是无穷小量）。

比如说 $y=x$ 和 $y=x^2$ 在 $x\to 0$ 的时候都是无穷小。

但是你从图像看你会发现他们趋于零的速度是不同的。

无穷大也分大小，有更大的无穷大和没那么大的无穷大。

现在我们要解决的问题是，如何描述 $A$ 和 $B$ 谁更快趋于零，谁是更小的无穷小量。

我们的方法是作商，在 $\lim_{x\to 0}$ 时求 $\dfrac{A}{B}$， 如果求出来结果是 $0$ ，说明 $A$ 更小，用行话说 $A$ 是 $B$ 的高阶无穷小； 如果求出来结果是 $\infty$ ，说明 $B$ 更小，用行话说 $A$ 是 $B$ 的低阶无穷小； 如果是一个非零常数，说明 $A$ 和 $B$ 趋于零速度只是一个倍数关系，就是没有平方之类那么离谱的关系，即 同阶无穷小； 如果是 $1$ 就是趋近速度完全相同，叫等价无穷小。

$\lim_{x\to 0}\dfrac{A}{B}$	$A$是$B$的
$0$	高阶无穷小
$1$	等价无穷小
$\infty$	低阶无穷小
$c$	同阶无穷小